Question

【題目】如圖，直線AB：y＝x+2與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，C是第一象限內(nèi)直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，且CD的長(zhǎng)為，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，N是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖①，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），是否存在這樣的P點(diǎn)．使以O，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若有在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖②，將直線AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，若旋轉(zhuǎn)角即∠ACE＝45°，求△BFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，2）；（2）點(diǎn)P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）；（3）S△BFC＝.

【解析】

（1）令x＝0，y＝0可求點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）分OM為邊，OM為對(duì)角線兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交x軸于點(diǎn)G，由題意可得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求直線CG解析式為：y＝2x＋，可得點(diǎn)G坐標(biāo)，由銳角三角函數(shù)和角平分線的性質(zhì)可得，可求點(diǎn)E坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線CF解析式，可求點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求△BFC的面積．

（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，

當(dāng)y＝0時(shí)，0＝×x+2

∴x＝﹣4

∴點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，2）

故答案為：（﹣4，0），（0，2）

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，0）

若OM為邊，則OM∥PN，OM＝PN

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0， ），

∴OM⊥x軸，OM＝

∴PN⊥x軸，PN＝

∴當(dāng)y＝時(shí)，則＝x+2

∴x＝﹣1

當(dāng)y＝﹣時(shí)，則﹣＝x+2

∴x＝﹣7

∴點(diǎn)P（﹣1，0），點(diǎn)P（﹣7，0）

若OM為對(duì)角線，則OM與PN互相平分，

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)O的坐標(biāo)（0，0）

∴OM的中點(diǎn)坐標(biāo)（0，）

∵點(diǎn)P（x，0），

∴點(diǎn)N（﹣x，）

∴＝×（﹣x）+2

∴x＝7

∴點(diǎn)P（7，0）

綜上所述：點(diǎn)P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）

（3）∵CD＝，即點(diǎn)C縱坐標(biāo)為，

∴＝x+2

∴x＝3

∴點(diǎn)C（3，）

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交x軸于點(diǎn)G，

∵CG⊥AB，

∴設(shè)直線CG解析式為：y＝﹣2x+b

∴＝﹣2×3+b

∴b＝

∴直線CG解析式為：y＝﹣2x+,

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（，0）

∵點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，2）

∴OA＝4，OB＝2，AG＝

∵tan∠CAG＝

∴

∵∠ACF＝45°，∠ACG＝90°

∴∠ACF＝∠FCG＝45°

∴，且AE+EG＝

∴AE＝

∴OE＝AE﹣AO＝

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0）

設(shè)直線CE解析式為：y＝mx+n

∴

解得：m＝3，n＝

∴直線CE解析式為：y＝3x

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝

∴點(diǎn)F（0，）

∴BF＝

∴S△BFC＝.