【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上,AH=2.
(1)若DG=6,求AE的長(zhǎng);
(2)若DG=2,求證:四邊形EFGH是正方形.

【答案】
(1)解:∵AD=6,AH=2

∴DH=AD﹣AH=4

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=∠D=90°

∴在Rt△DHG中,HG2=DH2+DG2

在Rt△AEH中,HE2=AH2+AE2

∵四邊形EFGH是菱形

∴HG=HE

∴DH2+DG2=AH2+AE2

即42+62=22+AE2

∴AE= =4


(2)證明:∵AH=2,DG=2,

∴AH=DG,

∵四邊形EFGH是菱形,

∴HG=HE,

在Rt△DHG和Rt△AEH中,

,

∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL),

∴∠DHG=∠AEH,

∵∠AEH+∠AHE=90°,

∴∠DHG+∠AHE=90°,

∴∠GHE=90°,

∵四邊形EFGH是菱形,

∴四邊形EFGH是正方形


【解析】(1)先根據(jù)矩形的性質(zhì),利用勾股定理列出表達(dá)式:HG2=DH2+DG2 , HE2=AH2+AE2 , 再根據(jù)菱形的性質(zhì),得到等式DH2+DG2=AH2+AE2 , 最后計(jì)算AE的長(zhǎng);(2)先根據(jù)已知條件,用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH,得到∠DHG=∠AEH,因?yàn)椤螦EH+∠AHE=90°,∠DHG+∠AHE=90°,可得菱形的一個(gè)角為90°,進(jìn)而判定該菱形為正方形.
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)直接寫出a的值,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

49.5~59.5

0.08

59.5~69.5

0.12

69.5~79.5

20

79.5~89.5

32

89.5~100.5

a

(2)若成績(jī)?cè)?/span>80分以上(含80分)為優(yōu)秀,求這次參賽的學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的約為多少人?

(3)若這組被抽查的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是80分,請(qǐng)直接寫出被抽查的學(xué)生中得分為80分的至少有多少人?

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