是否存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形,使得:
(1)最大角是最小角的兩倍(如圖1中,∠A=2∠B,且∠A為最大角,∠B為最小角);
(2)最大角是最小角的三倍(如圖2中,∠A=3∠B,且∠A為最大角,∠B為最小角);
若存在,求出該三角形三邊長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(下列各圖供探索用)

【答案】分析:(1)設(shè)a>c>b,根據(jù)三角形的三邊是連續(xù)的自然數(shù)設(shè)a=n+1,c=n,b=n-1,然后根據(jù)正弦定理以及二倍角公式列式求出
cosB=,再利用余弦定理表示出cosB,然后解關(guān)于n的方程,如果n是大于1的正整數(shù),則存在,否則不存在;
(2)同(1)的方法,先根據(jù)正弦定理以及三倍角公式列式并整理用n表示出sin2B,再根據(jù)sin2B是正數(shù)判斷不存在.
解答:解:(1)設(shè)∠A=2∠B,當(dāng)a>c>b時(shí),設(shè)a=n+1,c=n,b=n-1,(n為大于1的正整數(shù)),
根據(jù)正弦定理得=,
∵∠A=2∠B,
∴sinA=sin2B=2sinBcosB,
∴cosB=
根據(jù)余弦定理得,cosB===
=,
解得n=5,
∴n-1=5-1=4,
n+1=5+1=6,
∴存在三邊 4、5、6,使最大角是最小角的兩倍;

(2)同(1)=,
∵∠A=3∠B,
∴sinA=sin3B=3sinB-4sin3B,
∴3-4sin2B=,
整理得,4sin2B=3-==-,
∴sin2B=-,
∵n是大于1的正整數(shù),sin2B是正數(shù),
∴滿足條件的n值不存在,
故不存在三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形,使最大角是最小角的三倍.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了正弦與余弦定理,熟記正弦定理與余弦定理,并準(zhǔn)確寫(xiě)出二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα與三倍角的正弦公式sin3α=3sinα-4sin3α是解題的關(guān)鍵.
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