【題目】如圖,在中,,,.點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上,且.在上方作射線,使.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿射線方向運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作,垂足為,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,交線段或線段于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
(1)線段的長(zhǎng)為______.(用含的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),求的值.
(3)設(shè)的面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)當(dāng)點(diǎn)在的某一條邊的中垂線上時(shí),直接寫(xiě)出的值.
【答案】(1);(2);(3);(4)或或
【解析】
(1)證明△PRD∽△BCA,利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
(2)如圖2中,當(dāng)D與點(diǎn)C重合時(shí),證明△CPR∽△PDR,可得PR2=CRDR,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
(3)分兩種情形①當(dāng)0<t≤3時(shí),如圖3中,;②當(dāng)時(shí),如圖32中,S=,綜合即可;
(4)分三種情形:①如圖41中,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí),設(shè)AB的垂直平分線交AB于N,交BC于M.②如圖42中,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上時(shí),③如圖43中,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí),分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
(1)解:(1)如圖1中,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=,
∵PR⊥CD,
∴∠PRD=∠C=90°,
∵∠PDR=∠A,
∴△PRD∽△BCA,
∴,
∵PD=t,
∴,
∴PR=,DR=,
故答案為:;
(2)如圖2中,當(dāng)Q與點(diǎn)C重合時(shí),
∵PQ⊥PD,PR⊥CD,
∴∠QPD=∠PRQ=∠PRD=90°,
∵∠PCR+∠CPR=90°,∠CPR+∠DPR=90°,
∴∠DPR=∠PCR,
∴△CPR∽△PDR,
∴
∴PR2=CRDR,
由(1)可知PR=,DR=,
∵BD=1,
∴CD=5,CR=5,
∴()2=(5),
解得t=3.
∴t=3s時(shí),C,Q重合.
(3)①當(dāng)時(shí),如圖3中,由(2)可知,△QPR∽△PDR,
則,
∵PR=,DR=,
∴
.
②如圖3-1所示,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AM∥CD∠PD于點(diǎn)M,交PR于點(diǎn)N,則PR⊥AM,四邊形ANRC為矩形,∠PMA=∠PDC=∠CAB,
∵AP⊥PD,∠C=90°,
∴∠PAM=∠ABC,
∵PR=,DR=,
∴PN=PR-NR=PR-AC=-4,
AN=CR=CD-DR=5-,
∴tan∠PAN=tan∠ABC=,
即,解得:,
∴當(dāng)時(shí),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)時(shí),如圖3-2中,
∵PR=,DR=,
∴CR=,
∴.
綜上所述:;
(4)①如圖41中,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上時(shí),設(shè)AB的垂直平分線交AB于N,交BC于M.
∵PM⊥平分AB,則BN=
∴,
∴BM=BN=,
∵∠MNB=∠C=90°,
則∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BMN=90°,
∴∠BMN=∠A=∠PDC,
∴PM=PD,
∴DM=BM+BD=,
∵PR⊥DM,
∴DR=DM=,
∴,
∴t=.
②如圖42中,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上時(shí),
則BR=CR=2,
∴DR=3,即,解得t=5.
③如圖43中,當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí),PR=CM=,
即,解得t=.
綜上所述,滿足條件的t的值為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別為AB,AC邊上一點(diǎn),且BE=CD,CD⊥BE.若∠A=30°,BD=1,CE=2,則四邊形CEDB的面積為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn).
(1)求的值.
(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)時(shí),的取值范圍.
(3)若一次函數(shù)圖象與軸、軸分別交于點(diǎn),則求出的面積.
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【題目】國(guó)家規(guī)定,“中小學(xué)生每天在校體育鍛煉時(shí)間不小于1小時(shí)”,某地區(qū)就“每天在校體育鍛煉時(shí)間”的問(wèn)題隨機(jī)調(diào)查了若干名中學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作如下統(tǒng)計(jì)圖(不完整).其中分組情況:A組:時(shí)間小于0.5小時(shí);B組:時(shí)間大于等于0.5小時(shí)且小于1小時(shí);C組:時(shí)間大于等于1小時(shí)且小于1.5小時(shí);D組:時(shí)間大于等于1.5小時(shí).
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)A組的人數(shù)是 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組 ;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)25 000名中學(xué)生中,達(dá)到國(guó)家規(guī)定的每天在校體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)約有多少人.
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【題目】如圖,一款落地?zé)舻臒糁?/span>垂直于水平地面,高度為1.6米,支架部分的形狀為開(kāi)口向下的拋物線,其頂點(diǎn)距燈柱的水平距離為0.8米,距地面的高度為2.4米,燈罩距燈柱的水平距離為1.4米,則燈罩頂端D距地面的高度為______米.
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【題目】如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D在BC上,BD=2CD,點(diǎn)F是射線AC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是射線AD上的動(dòng)點(diǎn),∠AFM=∠DAB,FM的延長(zhǎng)線與射線AB交于點(diǎn)E,設(shè)AM=x,△AME與△ABD重疊部分的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<x≤m,m<x<n,x≥n時(shí),函數(shù)的解析式不同).
(1)填空:AB=_______;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍.
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【題目】請(qǐng)分別在下列圖中使用無(wú)刻度的直尺按要求畫(huà)圖.
(1)在圖1中,點(diǎn)P是ABCD邊AD上的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P畫(huà)一條線段PM,使PM=AB.
(2)在圖2中,點(diǎn)A、D分別是BCEF邊FB和EC上的中點(diǎn),且點(diǎn)P是邊EC上的動(dòng)點(diǎn),畫(huà)出△PAB的一條中位線.
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【題目】在達(dá)州市關(guān)工委組織的“五好小公民”主題教育活動(dòng)中,我市某中學(xué)組織全校學(xué)生參加了“紅旗隊(duì)飄,引我成長(zhǎng)”知識(shí)競(jìng)賽,賽后機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績(jī),從高分到低分將成績(jī)分成五類(lèi),繪制成下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)上面提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該校共有學(xué)生4200人,求成績(jī)?yōu)?/span>類(lèi)的學(xué)生人數(shù)和類(lèi)學(xué)生所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)若類(lèi)恰好是2名男生和2名女生,隨機(jī)選擇2名學(xué)生擔(dān)任校園廣播“孝心伴我行”節(jié)目主持人,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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【題目】如圖,圓的內(nèi)接五邊形ABCDE中,AD和BE交于點(diǎn)N,AB和EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,CD∥BE,BC∥AD,BM=BC=1,點(diǎn)D是的中點(diǎn).
(1)求證:BC=DE;
(2)求證:AE是圓的直徑;
(3)求圓的面積.
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