Question

2．如圖，直線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，兩動(dòng)點(diǎn)D，E分別從點(diǎn)A，點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止），運(yùn)動(dòng)速度分別是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和$\sqrt{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)G，與AB相交于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí)，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說(shuō)明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時(shí)拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在直線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，分別令y=0和x=0，容易求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由OA、OB的長(zhǎng)可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的長(zhǎng)，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可用t表示出AF的長(zhǎng)；
（3）利用菱形的性質(zhì)可求得t的值，則可求得AF=AG的長(zhǎng)，可得到$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，可判定△AFG與△AGB相似；
（4）若△AGF為直角三角形時(shí)，由條件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4-2t，EF=t，又由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進(jìn)一步可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)的解析式．

解答 解：
（1）在直線(xiàn)y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，
令y=0可得0=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，解得x=2，
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$，
∴A為（2，0），B為（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）由（1）可知OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴BE=$\sqrt{3}$t，
∵EF∥x軸，
∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴AF=4-2t；
（3）相似．理由如下：
當(dāng)四邊形ADEF為菱形時(shí)，則有EF=AF，
即t=4-2t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴AF=4-2t=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
如圖，過(guò)G作GH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，

則四邊形OEGH為矩形，
∴GH=OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又EG∥x軸，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A，
∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG²=GH²+AH²=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+2²=$\frac{16}{3}$，
又AF•AB=$\frac{4}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
∴AF•AB=AG²，即$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△AGB；
（4）存在，
∵EG∥x軸，
∴∠GFA=∠BAO=60°，
又G點(diǎn)不能在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴∠FGA≠90°，
∴當(dāng)△AGF為直角三角形時(shí)，則有∠FAG=90°，
又∠FGA=30°，
∴FG=2AF，
∵EF=t，EG=4，
∴FG=4-t，且AF=4-2t，
∴4-t=2（4-2t），
解得t=$\frac{4}{3}$，
即當(dāng)t的值為$\frac{4}{3}$秒時(shí)，△AGF為直角三角形，此時(shí)OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A，
∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-2）²，
把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4a，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-2）²，
即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得t的值，表示出AG的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，在（4）中判斷出∠FAG為直角是解題的突破口．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．