Question

如圖所示，過點F(0，1)的直線y＝kx＋b與拋物線y＝x²交于M(x₁，y₁)和N(x₂，y₂)兩點(其中x₁＜0，x₂＜0)．

(1)求b的值．

(2)求x₁·x₂的值

(3)分別過M、N作直線l：y＝－1的垂線，垂足分別是M₁、N₁，判斷△M₁FN₁的形狀，并證明你的結(jié)論．

(4)對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把點F(0，1)坐標代入y＝kx＋b中得b＝1．　(3分) 　　(2)由y＝x2和y＝kx＋1得x2－kx－1＝0化簡得 　　x1＝2k－2，x2＝2k＋2，x1·x2＝－4　(6分) 　　(3)△M1FN1是直角三角形(F點是直角頂點)．理由如下：設(shè)直線l與y軸的交點是F1 　　FM12＝FF12＋M1F12＝x12＋4，F(xiàn)N12＝FF12＋F1N12＝x22＋4 　　M1N12＝(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1x2＝x12＋x22＋8 　　∴FM12＋FN12＝M1N12∴△M1FN1是以F點為直角頂點的直角三角形．　(10分) 　　(4)符合條件的定直線m即為直線l：y＝－1． 　　過M作MH⊥NN1于H，MN2＝MH2＋NH2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(x1－x2)2＋[(kx1＋1)－(kx2＋1)]2＝(x1－x2)2＋k2(x1－x2)2＝(k2＋1)(x1－x2)2＝(k2＋1)(4)2＝16(k2＋1)2 　　∴MN＝4(k2＋1) 　　分別取MN和M1N1的中點P，P1， 　　PP1＝(MM1＋NN1)＝(y1＋1＋y2＋1)＝(y1＋y2)＋1＝k(x1＋x1)＋2＝2k2＋2＝2(k2＋1) 　　∴PP1＝MN 　　即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半． 　　∴以MN為直徑的圓與l相切．(15分)