【題目】如圖,拋物線ymx24mx+2m+1x軸交于Ax1,0),Bx2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且x2x12

1)求拋物線的解析式;

2E是拋物線上一點(diǎn),∠EAB2OCA,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿拋物線向上運(yùn)動(dòng),連接PD,過點(diǎn)PPQPD,交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q,以QD為對角線作矩形PQMD,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)(5,t)時(shí),求線段DM掃過的圖形面積.

【答案】1;(2)(,﹣)或();(31.

【解析】

1)根據(jù)拋物線的對稱軸公式以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得,又x2x12,可求得x11,x23,由此可得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo).A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得m的值,由此可得拋物線解析式;

2)作MN垂直且平分線段AC,交y軸與點(diǎn)F,連接FA.可得∠OFA=2OCA,所以∠OFA=EAB,在Rt△OFA中表示∠OFA的正切值,分點(diǎn)Ex軸下方和x軸上方兩種情況討論,分別構(gòu)造直角三角形表示∠EAB(∠E'AB)的正切值.根據(jù)相等角的正切值相等列出方程解方程即可;

3)連接AD,過PPSQD于點(diǎn)S,作PHx軸于點(diǎn)H,過BBIQD,交PS于點(diǎn)I,先證明M的軌跡在x軸上,當(dāng)PB點(diǎn)時(shí),MA點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng)時(shí),MA處沿x軸向左邊運(yùn)動(dòng).MD掃過的面積即SMAD,求SMAD即可.

解:(1)∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Ax1,0),Bx20

∴拋物線對稱軸直線x2

又∵x2x12

x11,x23

則點(diǎn)A10),B30

把點(diǎn)A1,0)代入ymx24mx+2m+1中得,

m4m+2m+10

解得,m1

∴拋物線解析式為yx24x+3

2)如圖

MN垂直且平分線段AC,交y軸與點(diǎn)F.連接FA,則∠OFA2OCA

MN垂直平分ACFCFA,設(shè)F0,n),則OFn,OA1

RtOAF中,由勾股定理得,AF

FC

OCOF+FCn+3

3n

等式左右兩邊同時(shí)平方得,1+n2=(3n2

解得,n

F0,

tanOFA

當(dāng)拋物線上的點(diǎn)Ex軸下方時(shí),作EGx軸于點(diǎn)G,并使得∠EAB=∠OFA

設(shè)點(diǎn)Emm24m+3),其中1m3,則tanEAB

整理得,4m213m+90

解得,m1,m21(舍去)

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣);

當(dāng)拋物線上的點(diǎn)E'x軸上方時(shí),作E'Hx軸于點(diǎn)H,并使得∠E'AB=∠OFA

設(shè)點(diǎn)E'm,m24m+3),其中m3,則tanE'AB

整理得,4m219m+150

解得,m3,m41(舍去)

此時(shí)E’點(diǎn)坐標(biāo)為(,

綜上所述,滿足題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)可以為(,﹣)或(

3)如圖,

連接AD,過PPSQD于點(diǎn)S,作PHx軸于點(diǎn)H,過BBIQD,交PS于點(diǎn)I

設(shè)QDx軸于點(diǎn)T,DPx軸交于點(diǎn)R

∵在矩形PQMD中,MQDP

∴∠QMH=∠MRD

又∵在△MDR中,∠MDR90°

∴∠DMR+DRM90°

又∵∠QMD=∠QMR+DMR90°,Rx軸上

M恒在x軸上.

又∵PQMD

∴∠PQS=∠MDT

∴在△MTD與△PSQ中,

∴△MTD≌△PSQAAS

MTPS

又∵PSTH

MTTH

又∵ATTB

MTATTHTB

MABH

又∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為5時(shí),易得OH5

BHOHOB532

MA2

又∵當(dāng)PB點(diǎn)時(shí)依題意作矩形PQMDMA點(diǎn)

由點(diǎn)P從點(diǎn)B由出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng),易得MA處沿x軸向左邊運(yùn)動(dòng).

MD掃過的面積即SMAD

SMADMATD×2×11

即線段DM掃過的圖形面積為1

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,利用一面墻(墻的長度不超過45m),用80m長的籬笆圍一個(gè)矩形場地.

1)怎樣圍才能使矩形場地的面積為750m2

2)能否使所圍矩形場地的面積為810m2,為什么?

3)怎樣圍才能使圍出的矩形場地面積最大?最大面積為多少?請通過計(jì)算說明.

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1)試分別寫出在兩書店購買此書的總價(jià)yA、yB與購書本數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式.

2)若該班一次購買多于20本,去哪家書店購買更合算?為什么?若要一次性購買不多于20本,先寫出yyyAyB)與購書本數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式,畫出其函數(shù)圖象,再利用函數(shù)圖象分析去哪家書店購買更合算.

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1)如圖1,若DFAC,垂足為F,AB4,求BE的長;

2)如圖2,將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F

求證:BE+CFAB

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