Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線相交于點E，AD⊥EC，垂足為D，且AD交⊙O于點F．
求證：（1）弧BC=弧CF；
（2）EC•CD=EB•DA．

Answer 1

【答案】分析：（1）若證明弧BC=弧CF，則可轉化為證明∠BAC=∠CAD即可；
（2）連接CB，證明△EBC
解答：證明：（1）連接OC，
∵CD是圓的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥EC，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴弧BC=弧CF；

（2）連接BC，
∵ED是圓的切線，
∴∠BCE=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECA，
∴EB：EC=AC：AB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴AD：CD=AC：AB，
∴EB：EC=AD：CD
∴EC•CD=EB•DA．
點評：本題考查圓的切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質以及比例式的證明方法，題目的綜合性較強，難度中等．