【題目】如圖,已知點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),其頂點(diǎn)為M.

(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式;
(2)試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并加以證明;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使得SBCN=4?如果存在,那么這樣的點(diǎn)有幾個?如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:Rt△ACB中,OC⊥AB,AO=1,BO=4;

由射影定理,得:OC2=OAOB=4,則OC=2,即點(diǎn)C(0,2);

設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x﹣4),將C點(diǎn)代入上式,得:

2=a(0+1)(0﹣4),a=﹣ ,

∴拋物線的解析式:y=﹣ (x+1)(x﹣4)=﹣ x2+ x+2


(2)

解:直線CM與以AB為直徑的圓相切.理由如下:

如右圖,設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D,連接CD.

由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,則點(diǎn)D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn),CD= AB.

由(1)知:y=﹣ (x+1)(x﹣4)=﹣ (x﹣ 2+ ,

則點(diǎn)M( , ),ME= ﹣2=

而CE=OD= ,OC=2;

∴ME:CE=OD:OC,又∠MEC=∠COD=90°,

∴△COD∽△CEM,

∴∠CME=∠CDO,

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°,

而CD等于⊙D的半徑長,所以直線CM與以AB為直徑的圓相切


(3)

解:由B(4,0)、C(0,2)得:BC=2 ;

則:SBCN= BCh= ×2 ×h=4,h= ;

過點(diǎn)B作BF⊥BC,且使BF=h= ,過F作直線l∥BC交x軸于G.

Rt△BFG中,sin∠BGF=sin∠CBO= ,BG=BF÷sin∠BGF= ÷ =4;

∴G(0,0)或(8,0).

易知直線BC:y=﹣ x+2,則可設(shè)直線l:y=﹣ x+b,代入G點(diǎn)坐標(biāo),得:b=0或b=4,則:

直線l:y=﹣ x或y=﹣ x+4;

聯(lián)立拋物線的解析式后,可得:

則 N1(2+2 ,﹣1﹣ )、N2(2﹣2 ,﹣1+ )、N3(2,3).


【解析】(1)Rt△ACB中,OC⊥AB,利用射影定理能求出OC的長,即可確定C點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法能求出該拋物線的解析式.(2)此題的解法有兩種:①過AB的中點(diǎn)作直線CM的垂線,比較該垂線段與AB的一半(半徑)的大小關(guān)系,若兩者相等,則直線CM與AB為直徑的圓相切;若該垂線段小于半徑長,則兩者的位置關(guān)系為相交;若該垂線段大于半徑長,則兩者的位置關(guān)系為相離;②連接AB中點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)D)和點(diǎn)C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知:CD為⊙D的半徑長,那么只需判斷CD是否與CM垂直即可,若垂直,則直線CM與⊙D相切;若不垂直,則相交.(3)先求出線段BC的長,根據(jù)△BCN的面積,可求出BC邊上的高,那么做直線l,且直線l與直線BC的長度正好等于BC邊上的高,那么直線l與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的N點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時,結(jié)論AC=CF+CD是否成立?若不成立,請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時,補(bǔ)全圖形,并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.

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(1)請問有幾種開發(fā)建設(shè)方案?

(2)哪種建設(shè)方案投入資金最少?最少資金是多少萬元?

(3)在(2)的方案下,為了讓更多的人享受到“惠民”政策,開發(fā)建設(shè)辦公室決定通過縮小“廉租房”的面積來降低造價、節(jié)省資金.每套A戶型“廉租房”的造價降低0.7萬元,每套B戶型“廉租房”的造價降低0.3萬元,將節(jié)省下來的資金全部用于再次開發(fā)建設(shè)縮小面積后的“廉租房”,如果同時建設(shè)A、B兩種戶型,請你直接寫出再次開發(fā)建設(shè)的方案.

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