Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0）與x軸正半軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A（2a，0）作AB∥y軸，交拋物線于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在線段OE上時(shí)，求四邊形OABC的面積的最大值；
（3）當(dāng)四邊形OABC為正方形時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式可以直接求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意可以分別用含a的代數(shù)式表示出OA、AB的長(zhǎng)，從而可以表示出四邊形OABC的面積，進(jìn)而可以取得面積的最大值；
（3）根據(jù)題意，可知OA=AB，由（2）中的OA與OB，可以求得a的值．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0），
∴對(duì)稱(chēng)軸為：x=$-\frac{-\frac{4}{a}}{2×\frac{1}{a}}=2$，
即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=2；
（2）將x=2a代入拋物線y=$\frac{1}{a}{x}^{2}-\frac{4}{a}x-a$（a＞0），得y=3a-8，
∴S_{四邊形OCBA}=（8-3a）×2a=$-6（a-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{32}{3}$，
∴當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，四邊形OABC的面積求得最大值為$\frac{32}{3}$；
（3）當(dāng)四邊形OABC為正方形時(shí)，
2a=8-3a
解得a=$\frac{8}{5}$，
即當(dāng)四邊形OABC為正方形時(shí)，a的值是$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．