Question

已知AB是⊙O的直徑，AB=10，弦BC=6，點D在⊙O上與點C在AB兩側(cè)，過點D作⊙O的切線PD．
（1）如圖1，PD與AB延長線交于點P，連接PC，若PC與⊙C相切，求弦AD、CD的長．
（2）如圖2，若切線PD∥AB，求弦AD、CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖1，根據(jù)切線長定理得到PC=PD，OP平分∠CPD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到PA⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到

BC

=

BD

，CE=DE，所以BD=BC=6，然后根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ADB=90°，于是可根據(jù)勾股定理計算出AD=8；接著利用面積法計算出DE，從而得到CD的長；
（2）作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連結(jié)OD、OB，如圖2，根據(jù)切線的性質(zhì)由PD為⊙O的切線得PD⊥OD，利用AB∥PD得到OD⊥AB，則根據(jù)垂徑定理得到

AD

=

BD

，
所以AD=BD，利用AB為直徑得到∠ADB=90°，∠ACB=90°，于是可判斷△ABD為等腰直角三角形，所以AD=

2

2

AB=5

2

；在Rt△ACB中勾股定理可計算出AC=8，接著由四邊形DECF為正方形得到CE=CF，證明Rt△DAE≌Rt△DBF得到AE=BF，然后計算出CE=7，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD=

2

CE=7

2

．

解答：（1）解：連結(jié)OD，如圖1，
∵PC和PD為⊙O的切線，
∴PC=PD，OP平分∠CPD，
∴PA⊥CD，
∴

BC

=

BD

，CE=DE，
∴BD=BC=6，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8；
∵

1

2

DE•AB=

1

2

AD•BD，
∴DE=

6×8

10

=

24

5

，
∴CD=2DE=

48

5

；

（2）作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連結(jié)OD、OB，如圖2，
∵PD為⊙O的切線，
∴PD⊥OD，
∵AB∥PD，
∴OD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

，
在Rt△ACB中，∵BC=6，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=8，
∵

AD

=

BD

，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DE=DF，
∴四邊形DECF為正方形，
∴CE=CF，
在Rt△DAE和Rt△DBF中，

DE=DF DA=DB

，
∴Rt△DAE≌Rt△DBF，
∴AE=BF，
∴AC+BC=CE+AE+CF-BF=2CE，
∴2CE=6+8=14，解得CE=7，
而四邊形DECF為正方形，
∴CD=

2

CE=7

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了切線長定理和等腰三角形的性質(zhì)．