Question

如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以D為圓心似長為半徑作

圓O、C為半圓AB上不與A、B重合的一動點，射線AC交⊙O于點E，BC=a，AC=b，

（1）求證：AE=b+a；

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是關于x的方程：x+ax=b+ab的一個根，求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接BE，根據等邊三角形的性質可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據含30°角的直角三角形的性質可得BE=2a，CE=a，即可得到結果；(2) ；（3）或

【解析】

試題分析：（1）連接BE，根據等邊三角形的性質可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據含30°角的直角三角形的性質可得BE=2a，CE=a，即可得到結果；

（2）過點C作CH⊥AB于H，根據(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2即可得到結果；

（3）由x+ax=b+ab可求得x=b或x=-(b+a)，分a=m=b與m=-(b+a)兩種情況分析即可.

（1）連接BE

∵△ABC為等邊三角形

∴∠AOB=60°

∴∠AEB=30°

∵AB為直徑

∴∠ACB=∠BCE=90°

∵BC=a

∴BE=2a

CE=a

∵AC=b     

∴AE=b+a；

（2）過點C作CH⊥AB于H

在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1

∴a²+b²=1

∴(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2

∴a+b≤，故a+b的最大值為；

（3）x+ax=b+ab

∴x-b+ax-ab=0  

(x+b)(x-b)+ a(x-b)=0

(x-b)(x+b+a)=0

∴x=b或x=-(b+a)

當a=m=b時，m=b=AC<AB=1

∴0<m<1 

當m=-(b+a)時，由（1）知AE=-m

又AB<AE≤2AO=2

∴1<-m≤2

∴-2≤m<-1

∴m的取值范圍為或.

考點：圓的綜合題

點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要特別注意.