Question

理解與應用
小明在學習相似三角形時，在北京市義務教育課程改革實驗教材第17冊書，第37頁遇到這樣一道題：
如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，聯(lián)結CP．要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是

 

，或

 

．
請回答：
（1）小明補充的條件是

 

，或

 

．
（2）請你參考上面的圖形和結論，探究、解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，∠A=60°，AC²=AB²+AB•BC．求∠B的度數．

Answer 1

分析：（1）由∠A是公共角，可得要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；
（2）首先延長AB到點D，使BD=BC，易得△ACB∽△ADC，然后由相似三角形的對應角相等，求得3∠D+60°=180°，則可求得∠D的度數，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵∠A是公共角，
∴要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；

（2）如圖，延長AB到點D，使BD=BC，
∵∠A=∠A，AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB•（AB+BD）=AB•AD，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠B=80°．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．