Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于B（3，0），C（8，0）兩點(diǎn)，已知AB=BC
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B做線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)條件可求出OB、AB的值，然后只需運(yùn)用勾股定理就可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）由于拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線解析式可設(shè)成兩點(diǎn)式（也稱交點(diǎn)式），然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入該解析式，就可求出拋物線的解析式；
（3）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H，BD與⊙C的相切于點(diǎn)E，連接CE，如圖，則有∠BEC=90°．易證△AOB∽△BEC，從而可求出⊙C的半徑CE，然后求出拋物線的對(duì)稱軸方程，得到OH的值，從而得到圓心C到對(duì)稱軸l的距離CH，然后只需比較CH與CE的大小，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵B（3，0），C（8，0），
∴OB=3，OC=8，
∴AB=BC=5．
∵∠AOB=90°，
∴OA=

AB2-OB2

=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-8），
把點(diǎn)A（0，4）代入該解析式得：24a=4，
解得：a=

1

6

，
∴y=

1

6

（x-3）（x-8）=

1

6

x²-

11

6

x+4，
∴該拋物線的解析式為y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（3）拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相交．
理由：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H，BD與⊙C的相切于點(diǎn)E，連接CE，如圖，
則有∠BEC=90°．
∵AB⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BEC=90°，
∴AB∥EC，
∴∠ABO=∠BCE．
∵∠AOB=∠BEC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴

OB

EC

=

AB

BC

=1，
∴CE=OB=3．
∵拋物線y=

1

6

x²-

11

6

x+4的對(duì)稱軸為x=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴OH=

11

2

，∴CH=OC-OH=8-

11

2

=

5

2

．
∴CH＜CE，
∴拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相交．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，將直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（d與r的關(guān)系）是解決第（3）小題的關(guān)鍵．