Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分

支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線(k＜0)上運(yùn)動(dòng)，則k的值是________．

Answer 1

【答案】-3．

【解析】連接OC，易證AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF=AE，F(xiàn)C=EO..設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b）則ab=1，可得FCOF=3．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），從而有FCOF=-xy=-3，即k=xy=-3．

解：∵雙曲線y=關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱．

∴OA=OB．

連接OC，如圖所示．

∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB．∠BAC=60°．

∴tan∠OAC==．

∴OC=OA．

過點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，

過點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．

∴△AEO∽△OFC．

∴．

∵OC=OA，

∴OF=AE，F(xiàn)C=EO．

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），

∵點(diǎn)A在第一象限，

∴AE=a，OE=b．

∴OF=AE=a，F(xiàn)C=EO=b．

∵點(diǎn)A在雙曲線y=上，∴ab=1．

∴FCOF=ba=3ab=6

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），

∵點(diǎn)C在第四象限，

∴FC=x，OF=-y．

∴FCOF=x（-y）=-xy=3．

∴xy=-3．

∵點(diǎn)C在雙曲線y=上，

∴k=xy=-3．

故答案為：-3．

“點(diǎn)睛”本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)與坐標(biāo)之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識，有一定的難度．由∠AOC=90°聯(lián)想到構(gòu)造K型相似是解答本題的關(guān)鍵．