Question

【題目】如果拋物線m的頂點(diǎn)在拋物線n上，同時(shí)拋物線n的頂點(diǎn)在拋物線m上，那么我們就稱(chēng)拋物線m與n為交融拋物線．

（1）已知拋物線a：，判斷下列拋物線b：，c：與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說(shuō)明理由；

（2）在直線y=2上有一動(dòng)點(diǎn)P（t，2），將拋物線a：繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；

（3）M為拋物線a：的頂點(diǎn)，Q為拋物線a的交融拋物線的頂點(diǎn)，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形MQS，使直角頂點(diǎn)S在y軸上？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與拋物線不是交融拋物線，拋物線與拋物線是交融拋物線，理由見(jiàn)解析；（2）所求拋物線的解析式為或；（3）存在符合條件的等腰直角三角形，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0,0）或（0,3）．

【解析】

（1）求出拋物線a的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可；
（2）先確定拋物線a的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，可求出N的縱坐標(biāo)，代入求出N的橫坐標(biāo)，分類(lèi)討論即可；
（3）設(shè)點(diǎn)S（0，c），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)分兩類(lèi)：①M，Q，S逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)；②M，Q，S順時(shí)針?lè)植紩r(shí)，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)不在拋物線上，

∴拋物線與拋物線不是交融拋物線；

∵當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)在拋物線上，

∵拋物線的頂點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)在拋物線上，

∴拋物線與拋物線是交融拋物線．

（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵將拋物線a：繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180得到拋物線l，拋物線a與l為交融拋物線，作頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)N為拋物線l的頂點(diǎn)，

分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足為、，則，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，

當(dāng)時(shí)，，解得，，

∴或，

當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為，

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為；

當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為，

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為，

∴所求拋物線的解析式為或．

（3）設(shè)點(diǎn)，則分以下兩種情況：

①當(dāng)，，逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)（如圖中），

過(guò)點(diǎn)作軸于，則∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ，∠MSQ=90°，

∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS，

∴（AAS），

∴，OM=DS，

∴，∴點(diǎn)，

∵點(diǎn)在拋物線上，∴，

解得或，

∴或；

②當(dāng)，，順時(shí)針?lè)植紩r(shí)（如圖中），

同理可得，

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴，即，

∵，∴此方程無(wú)解，

綜上所述，存在符合條件的等腰直角三角形MQS，此時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)為（0,0）或（0,3）．