Question

如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且BC：EC=4：1，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)．
（1）判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）△AEF是直角三角形．
理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴DF=CF=2a，
∵BC：EC=4：1，
∴EC=a，BE=4a-a=3a，
在Rt△ADF中，AF²=（4a）²+（2a）²=20a²，
在Rt△ECF中，EF²=（2a）²+a²=5a²，
在Rt△ABE中，AE²=（4a）²+（3a）²=25a²，
∴AF²+EF²=AE²，
∴△AEF是直角三角形；

（2）正方形的邊長(zhǎng)為4時(shí)，4a=4，a=1，
AF==2，
EF=，
△AEF的面積=AF•EF=×2×=5．
分析：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，表示出DF=CF以及EC、BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF²、EF²、AE²，再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形；
（2）把（1）的4a換成4，然后求出AF、EF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，用正方形的邊長(zhǎng)表示出△AEF的各邊的平方是解題的關(guān)鍵．