Question

如圖，AB，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥AB，BE=EF=2，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，DG=GE=3，連接FD．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：DF是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）⊙0半徑為R，則OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）²=（R+2）²+3²，求出即可；
（2）證△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根據(jù)切線的判定推出即可．
解答：（1）解：設(shè)⊙0半徑為R，則OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG²=OE²+EG²，
∴（R+3）²=（R+2）²+3²，
R=2，
即⊙O半徑是2．

（2）證明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中

∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD為半徑，
∴DF是⊙O的切線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，用了方程思想．