Question

如圖，D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個動點（D與B、C均不重合），連接AD，以AD為一邊作等腰直角△ADE，DE為斜邊，連接CE．
（1）求證：△ACE≌△ABD；
（2）設(shè)BD=x，若AB=；
①當(dāng)△DCE的面積為1.5時，求x的值；
②試問：△DCE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值，并指出此時x的取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）∵BC、DE分別是兩個等腰直角△ADE、△ABC的斜邊，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS）．

解：（2）①∵AC=AB=，
∴BC ²=AC²+AB²=，
∴BC=4．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，同理∠ACE=45°，
∴∠DCE=90度．
∵△ACE≌△ABD，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面積為DC•CE=（4-x）x．
∴（4-x）x=1.5
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．
②△DCE存在最大值，理由如下：
設(shè)△DCE的面積為y，于是得y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=（4-x）x（0＜x＜4）
=-（x-2）²+2
∵a=-＜0，∴當(dāng)x=2時，函數(shù)y有最大值2．
又∵x滿足關(guān)系式0＜x＜4，
故當(dāng)x=2時，△DCE的最大面積為2．
分析：（1）△ACE可看作由△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，可由已知找全等的條件．
（2）由（1）可推出BD=CE，∠DCE=90°在Rt△CDE中，CD=4-x，CE=x，可表示△CDE的面積，用一元二次方程，二次函數(shù)解答本題．
點評：本題結(jié)合等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)觀察全等三角形，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，通過計算面積又把問題與一元二次方程、二次函數(shù)進行綜合應(yīng)用．