【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+x+c過點(diǎn)A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M是線段AP的中點(diǎn),將線段MP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PB.過點(diǎn)B作x軸的垂線、過點(diǎn)A作y軸的垂線,兩直線相交于點(diǎn)D.

(1)求此拋物線的對(duì)稱軸;

(2)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上?

(3)是否存在t,使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△PEB相似?若存在,求此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)對(duì)稱軸為:x=;(2)當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上;(3)當(dāng)t=﹣2+2、t=8+4時(shí),以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△PEB相似.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,從而得到對(duì)稱軸;(2)根據(jù)題意得出點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)E和點(diǎn)B的坐標(biāo),從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),然后求出t的值;(3)分0t8t8兩種情況,每種情況分兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算,得出t的值.

試題解析:(1)由題得,,解得

拋物線的解析式為: ,它的對(duì)稱軸為:

2)由題意得: ,

繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得, .從而有

假設(shè)在拋物線上,有, 解得

,即當(dāng)時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上.

3當(dāng)時(shí),如圖,

,

1)若∽△ADB,此時(shí),有: , ,即

化簡(jiǎn)得,此時(shí)無(wú)解。

∽△ADB, 此時(shí),有: , ,即,

化簡(jiǎn)得: ,關(guān)于的一元二次方程的判別式,

由求根公式得:

,

當(dāng)時(shí),如圖,若POA∽△ADB

1)若∽△ADB,此時(shí),有:

,即,化簡(jiǎn)得,解得(負(fù)根舍去)。

2)若∽△ADB,同理得此時(shí)無(wú)解。

綜合上述:當(dāng)、時(shí),以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與PEB相似。

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已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)

)點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.

點(diǎn)的變換點(diǎn)為,連接,,則__________.

)點(diǎn)的變換點(diǎn)為,隨著的變化,點(diǎn)會(huì)運(yùn)動(dòng)起來(lái),請(qǐng)?jiān)趥溆脠D()中畫出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑.

)若是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值:__________.

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