Question

11．如圖，已知點(diǎn)E是矩形一邊AD上的一點(diǎn)，沿CE折疊矩形使點(diǎn)D落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G為BC上一點(diǎn)，且CG=DE，連FG．
（1）求證：FG∥EC；
（2）若∠DAC=30°，CD=4，求四邊形EFGC的面積．

Answer 1

分析 （1）作FN∥AD交EC于N，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)證明四邊形EFGC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可；
（2）作FM⊥BC于M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)分別求出△EFC的面積和△GFC的面積即可．

解答 （1）證明：作FN∥AD交EC于N，
則FN∥BC，∠DEC=∠ENF，
由折疊的性質(zhì)可知，∠DEC=∠FEN，F(xiàn)E=DE，
∴∠FEN=∠FNE，
∴FE=FN，又CG=DE，
∴FN=CG，又FN∥BC，
∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴FG∥EC；
（2）作FM⊥BC于M，
∵∠DAC=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCE=∠FCE=30°，又CD=4，
∴DE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△EFC的面積=△EDC的面積=$\frac{1}{2}×$4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ACB=90°-∠ACD=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$FC=2，
∴△FGC的面積=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形EFGC的面積=△EFC的面積+△GFC的面積=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換和平行四邊形的判定，掌握翻折變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．