Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上，頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動(dòng)的滾動(dòng)．當(dāng)滾動(dòng)一周回到原位置時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作輔助線，首先求出∠D′AB的大小，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)的角度，利用弧長(zhǎng)公式問題即可解決．

解：如圖，分別連接OA、OB、OD′、OC、OC′；

∵OA＝OB＝AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OAB＝60°；

同理可證：∠OAD′＝60°，

∴∠D′AB＝120°；

∵∠D′AB′＝90°，

∴∠BAB′＝120°﹣90°＝30°，

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知∠C′AC＝∠B′AB＝30°；

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為2，

∴∠ABC＝90°，AC＝，

∴當(dāng)點(diǎn)D第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：．

以D或B為圓心滾動(dòng)時(shí)，每次C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

以A做圓心滾動(dòng)兩次，以B和D做圓心滾動(dòng)三次，

所以總路徑＝．

故答案為：π.