Question

【題目】【傾聽(tīng)理解】（這是習(xí)題講評(píng)課上師生圍繞一道習(xí)題的對(duì)話片斷）

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E.

師：當(dāng)BD＝1時(shí)，同學(xué)們能求哪些量呢？

生1：求BC、OD的長(zhǎng)．

生2：求、的長(zhǎng)．

……

師：正確！老師還想追問(wèn)的是：去掉“BD＝1”，大家能提出怎樣的問(wèn)題呢？

生3：求證：DE的長(zhǎng)為定值．

生4：連接AB，求△ABC面積的最大值．

……

師：你們?cè)O(shè)計(jì)的問(wèn)題真精彩，解法也很好！

【一起參與】

（1）求“生2”的問(wèn)題:“當(dāng)BD＝1時(shí)，求、的長(zhǎng)”；

（2）選擇“生3”或“生4”提出的一個(gè)問(wèn)題，并給出解答．

Answer 1

【答案】（1）的長(zhǎng)為π；（2）的長(zhǎng)為π；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）如圖：

連接OC，當(dāng)BD=1時(shí)，由“垂徑定理”可得BC=2，從而可證△OBC為等邊三角形，得到∠BOC=60°，∠AOC=30°，就可以由弧長(zhǎng)公式求兩條弧的長(zhǎng)了；

（2）①“生3的問(wèn)題”，如圖：

連接AB，在Rt△AOB中，由已知易得，由已知和“垂徑定理”可得D、E分別是BC和AC的中點(diǎn)，從而可得DE是△OAB的中位線，由“三角形中位線定理”可得DE=AB=；

②“生4的問(wèn)題”，如圖：

由①可知， ，OC=2，當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，OC⊥AB，此時(shí)OF最短為，CF最長(zhǎng)為，△ABC面積最大；

試題解析：

（1）連OC，當(dāng)BD＝1時(shí)，

∵OD⊥BC

∴BC＝2BD＝2，∴△OBC是等邊三角形．∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝30°，

∴的長(zhǎng)為， 的長(zhǎng)為．

（2）生3的問(wèn)題：連結(jié)AB，在Rt△AOB中，AB＝，

∴DE＝AB＝．

生4的問(wèn)題：∵當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，OC⊥AB，此時(shí)OF最短，

∴ 當(dāng)點(diǎn)C為中點(diǎn)時(shí)，CF最長(zhǎng)，由AB=是定值，可知此時(shí)，△ABC面積最大，

∵OC⊥AB，

∴OF=AB=，

∴CF=2-，

∴S△ABC最大=.