(1)已知:如圖1,△ABC中,分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF,直線AN⊥BC于N,若EP⊥AN于P,F(xiàn)Q⊥AN于Q.判斷線段EP、FQ的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)如圖2,梯形ABCD中,AD∥BC,分別以兩腰AB、CD為一邊向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF,線段AD的垂直平分線交線段AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,若EP⊥MN于P,F(xiàn)Q⊥MN于Q.(1)中結(jié)論還成立嗎?請說明理由.
【答案】分析:(1)由正方形的邊角關(guān)系可證△FQA≌△ANC,則FQ=AN;同樣可證△EPA≌△ANB,則EP=AN.從而得出EP=FQ;
(2)過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I,由AAS可證△FKD≌△DIC,則QK=DM,F(xiàn)Q=DM+MN,同理可得,EP=AM+MN,再由MN為AD中垂線,得出AM=MD,從而證出EP=FQ.
解答:解:(1)EP、FQ的數(shù)量關(guān)系是相等.
證明:∠QFA=90°-∠FAQ=∠CAN,
在△FQA與△ANC中,
,
∴△FQA≌△ANC(AAS),
∴FQ=AN;
同理△EPA≌△ANB,
∴EP=AN,
∴EP=FQ;

(2)答:(1)中的結(jié)論依然成立.理由如下:
過D作PN的平行線分別交FQ、BC于點(diǎn)K、I.
∵∠KFD=90°-∠FDK=∠CDI,
在△FKD與△DIC中,

∴△FKD≌△DIC(AAS),
∴FK=DI,
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN;
同理可得,EP=AM+MN,
又∵M(jìn)N為AD中垂線,
∴AM=MD,
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定等知識(shí),需要學(xué)會(huì)分割線段來證明線段相等.難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2007年5月17日我市榮獲“國家衛(wèi)生城市稱號(hào)”.在“創(chuàng)衛(wèi)”過程中,要在東西方向M、N兩地之間修建一條道路.已知:如圖C點(diǎn)周圍180m范圍內(nèi)為文物保護(hù)區(qū),在MN上點(diǎn)A處測得C在A的北偏東60°方向上,從A向東走500m到達(dá)B處精英家教網(wǎng),測得C在B的北偏西45°方向上.
(1)NM是否穿過文物保護(hù)區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù):
3
≈1.732)
(2)若修路工程順利進(jìn)行,要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成,需將原定的工作效率提高25%,則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工作需要多少天?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

11、已知,如圖,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),分別以A、B為圓心的圓與x軸相切,則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為
π

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,∠1=∠2,
 
.求證:AB=AC.
(1)在橫線上添加一個(gè)使命題的結(jié)論成立的條件;
(2)寫出證明過程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),BC=2AB,P為
AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合),以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點(diǎn)F,過P、F作直線L,交BC邊于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1位置時(shí),直線L恰好經(jīng)過點(diǎn)B,此時(shí)直線的解析式是y=2x+1,
(Ⅰ)求BC、AP1的長;
(Ⅱ)設(shè)AP=m,梯形PECD的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量m的取值范圍;
(Ⅲ)以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切,探究并猜想:⊙P和⊙E有哪幾種位置關(guān)系,并求出AP相應(yīng)的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
的圖象與x軸分別交于A,B兩點(diǎn),與y軸交精英家教網(wǎng)于C點(diǎn),⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A、C,點(diǎn)D是劣弧
OA
上一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)與A、O不重合).
(1)求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求⊙M的面積;
(3)連CD交AO于點(diǎn)F,延長CD至G,使FG=2,試探究,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),直線GA與⊙M相切,并請說明理由.
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