Question

6．如圖，在這個漂亮的螺旋圖中，所有的三角形都是直角三角形，按此方式繼續(xù)畫下去：根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)．
（1）填空：a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
（2）記△OAA₁的面積為S₁，△OA₁A₂的面積為S₂，…△OA_n-1A_n的面積為S_n．求出S₁和S_n．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出a₁=$\sqrt{2}$，a₂=$\sqrt{3}$，…，得出規(guī)律，即可得出a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
（2）由三角形的面積公式求出S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…，得出規(guī)律S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$即可．

解答 解：（1）由勾股定理得：
a₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{1}}$=$\sqrt{2}$，a₂=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，…，
a₄=$\sqrt{5}$，a_n=$\sqrt{n+1}$；
故答案為：$\sqrt{5}$，$\sqrt{n+1}$；
（2）解：根據(jù)題意得：S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…，
∴S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．

點評 本題考查了勾股定理、三角形面積的計算方法；熟練掌握勾股定理，通過計算得出規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．