Question

【題目】如圖，四邊形內接于，對角線是的直徑，過點作的垂線交的延長線于點，為的中點，連接，，與交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的值；

（3）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）4

【解析】

（1）連接OD，證明，由F為CE中點，得DF=CF，結合OD=OC，證明，可得DF為的切線；

（2）證明△ACE∽△ADC，得AC2=AD·AE，可設DE=x（或DE=1），根據AC2=AD·AE求出AD，DC，，可得結果；

（3）過點O作于點G，根據垂徑定理得BG=GD=m，表示PD=m+PG，PB=m-PG，根據，得，由得OG=PG，可得半徑，即可得到AC．

解：（1）證明：如圖，連接OD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°．

∴∠EDC=90°．

∵F是EC的中點，

∴DF=FC．

∴∠FDC=∠FCD．

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD．

∵AC⊥CE，

∴∠OCF=90°．

∴∠ODF=∠ODC＋∠FDC=∠OCD＋∠FCD=∠OCF=90°，即DF⊥OD．

∴DF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠CAE＋∠E=90°，∠CAE＋∠ACD=90°，

∴∠E=∠ACD．

又∠ACE=∠ADC=90°，

∴△ACE∽△ADC．

∴，即AC2=AD·AE．

解法一：設DE=x，則AC=x，即（x）2=AD（AD+x）．

整理，得AD2＋AD·x－20x2=0．

解得AD=4x或AD=-5x（舍去）．

∴DC==2x．

∴tan∠ABD=tan∠ACD===2．

解法二：設DE=1，則AC=，即（）2=AD（AD+1）．

整理，得AD2＋AD－20=0．

解得AD=4或AD=-5（舍去）．

∴DC==2．

∴tan∠ABD=tan∠ACD==2．

（3）解：如圖，過點O作于點G．

由垂徑定理，得BG=DG．

設BG=DG=m，則PD=m+PG，PB=m-PG．

∵，

∴，整理，得，即．

∵∠DPC=45°，

∴OG=PG．

∴OD2=DG2+OG2=m2+PG2=4，即⊙O的半徑為2．

∴AC=4．