Question

（1）在△ABE中，AC⊥BE，垂足為C，點(diǎn)D在AC上，連接BD、ED．
如果△ABC∽△EDC，
如圖1，當(dāng)=1時(shí)，求證：BD=AE；
如圖2，當(dāng)=k時(shí)，請(qǐng)猜想BD與AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．
（2）如圖3，如果△ABC∽△EDC，當(dāng)=k時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD與AE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)=1時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得=，易得BC=AC，CD=CE，根據(jù)全等三角形的判定可得到Rt△BCD≌Rt△ACE，即可得到結(jié)論；
當(dāng)=k時(shí)，延長BD交AE于點(diǎn)F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得=，則=，根據(jù)相似三角形的判定可得到Rt△BCD∽R(shí)t△ACE，則=，∠BDC=∠AEC，得到BD=kAE，而∠BCD=90°，即可得到∠CBD+∠AEC=90°，即BD⊥AE；
（2）由（1）的第二種情況可推出BD=kAE．
解答：解：（1）當(dāng)=1時(shí)，
證明：∵△ABC∽△EDC，
∴=，
∴=，
又∵=1，
∴BC=AC，CD=CE，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE；
當(dāng)=k時(shí)，有BD=kAE，BD⊥AE．
證明如下：如圖，延長BD交AE于點(diǎn)F，
∵△ABC∽△EDC，
∴=，
∴=，
又∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECD=90°，
∴Rt△BCD∽R(shí)t△ACE，
∴=，∠BDC=∠AEC，
∵=k，
∴BD=kAE，
∴BD=kAE；
∵∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠CBD+∠AEC=90°，
∴BD⊥AE；

（2）BD=kAE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且它們的夾角相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．