Question

14．已知：如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，D為BC的中點，P為線段AC上任意一點，則PB+PD的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先確定DC′=DP+PC′=DP+BP的值最小，然后根據(jù)勾股定理計算．

解答 解：作點B關(guān)于直線AC的對稱點C′，連接DC′，交AC于P，連接BP，
此時DP+BP=DP+PC′=DC′的值最�。�
∵D為BC的中點，∴BD=1，DC=1，
∴BC=AB=2，
連接CC′，由對稱性可知∠C′BC=∠BC′C=45°，
∴∠BCC′=90°，
∴CC′⊥BC，∠CBC′=∠BC′C=45°，
∴BC=CC′=2，
根據(jù)勾股定理可得DC′=$\sqrt{CC{′}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了線路最短的問題，確定動點E何位置時，使PB+PD的值最小是關(guān)鍵．