Question

【題目】已知拋物線y1=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），直線1的解析式為y2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求b、c的值；

（2）若函數(shù)y1+y2的圖象與x軸始終有公共點(diǎn)，求直線l的解析式；

（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b的值為2，c的值為2；（2）當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．

【解析】

試題分析：（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法列出方程組即可解決問題．（2）根據(jù)△≥0，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．（3）首先求出A、B坐標(biāo)，分三種情形討論即可①當(dāng)BA=BP時(shí)，②當(dāng)AB=AP時(shí)，③當(dāng)PA=PB時(shí)．

試題解析：（1）∵拋物線y1=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），

∴，解得：，

∴b的值為2，c的值為2．

（2）y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+（2+2m）x+3m2+4nm+4n2+2，

∵函數(shù)y1+y2的圖象與x軸始終有公共點(diǎn)，

∴△=（2+2m）2﹣4×1×（3m2+4nm+4n2+2）≥0，即﹣4（m﹣1）2﹣4（m+2n）2≥0．

∵（m﹣1）2≥0，（m+2n）2≥0，

∴m=1，n=﹣，

∴直線l的解析式為y=2x+2．

（3）如圖，A（﹣1，0），B（0，2）．AB==，對稱軸x=﹣1，

①當(dāng)BA=BP時(shí)，可得P1（﹣1，4），

②當(dāng)AB=AP時(shí)，可得P2（﹣1，），P3（﹣1，﹣），

③當(dāng)PA=PB時(shí)，可得P4（﹣1，2）．

綜上所述，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．