Question

【題目】如閣，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，在邊AB上取一點(diǎn)Q，滿足∠PQA＝2∠B，過點(diǎn)Q作QM⊥PQ，交邊BC于點(diǎn)M，以PQ、QM為邊作矩形PQMN，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

（1）用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長；

（2）當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求t的值；

（3）設(shè)矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的周長為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）作點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)C關(guān)于直線PN的對稱點(diǎn)C′，當(dāng)點(diǎn)A′、C′這兩個(gè)點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在矩形PQMN內(nèi)部時(shí)，直接寫出此時(shí)的t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形PQMN，四邊形PQMN的周長．當(dāng)時(shí)，重疊部分是，的周長．（4）或.

【解析】

分兩種情形分別求解即可解決問題．
如圖1中，當(dāng)四邊形PQMN是正方形時(shí)，作于利用全等三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程即可解決問題如圖2中，四邊形PQMN不可能是正方形．
分兩種情形分別畫出圖象解決問題即可．
如圖5中，當(dāng)點(diǎn)在線段MQ上時(shí)，作于求出t的值如圖6中，當(dāng)點(diǎn)在MN上時(shí)，作于求出t的值，由此即可判定．

解：如圖1中當(dāng)時(shí)，作于H．

，
，
，
，
，，
≌，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
如圖2中，當(dāng)時(shí)，作，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

如圖1中，當(dāng)四邊形PQMN是正方形時(shí)，作于K．
，
，
，，
≌，
，
，
，
如圖2中，四邊形PQMN不可能是正方形，
綜上所述，時(shí)，四邊形PQMN是正方形．

如圖3中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形PQMT．

由可知：，，，
由∽，可得，
，
，
由∽，
，
，
，
由∽，
，
，
，
四邊形PQMN的周長．
如圖4中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是，

由可知：，，，
的周長．

如圖5中，當(dāng)點(diǎn)在線段MQ上時(shí)，作于K．

由可得：，
解得，
觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)這兩個(gè)點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在矩形PQMN內(nèi)部．

如圖6中，當(dāng)點(diǎn)在MN上時(shí)，作于K．

由可得：，
解得，
觀察圖象可知：時(shí)，點(diǎn)這兩個(gè)點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在矩形PQMN內(nèi)部．
綜上所述，滿足條件的t的值為或．