Question

如圖，已知直線l：y=及拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0），且拋物線C圖象上部分點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-5	0	3	4	3	0	-5	…

（1）求拋物線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）求直線l與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M在直線l上方的拋物線C上移動(dòng)，求△ABM的邊AB上的高h(yuǎn)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可任選三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行求解即可．（可選其中與x軸的交點(diǎn)，用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式求解．）
（2）聯(lián)立直線l和拋物線的解析式即可求出A、B的坐標(biāo)．
（3）本題可通過(guò)三角形ABM的面積來(lái)求解．由于三角形AMB的面積無(wú)法直接求出，因此可將其分割成其他圖形面積的和差來(lái)求解．過(guò)M作MN∥y軸交AB于N，那么三角形ABM的面積就分成了三角形AMN和BMN兩部分，可以MN為底，以AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為高來(lái)求三角形ABM的面積，MN是拋物線的函數(shù)中與直線AB函數(shù)值的差，由此可得出關(guān)于三角形AMB的面積與M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)三角形ABM的面積的不同表示方法求出關(guān)于h和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出h的最大值．
解答：解：（1）∵拋物線C：y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)（-1，0），（0，3），（3，0）；
∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
則有：3=a（0+1）（0-3），a=-1；
∴拋物線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）由，
得：，
；
∴A（-，-）和B（2，3）．

（3）設(shè)點(diǎn)M（x，-x²+2x+3），其中-＜x＜3，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x）．
且|MN|=-x²+2x+3-x=-x²+x+3
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=|MN|（x+）+|MN|（2-x）
=|MN|（+x+2-x）
=-x²+x+
由勾股定理得：
|AB|===．
又∵S_△ABM=|AB|•h，
∴וh=-x²+x+
∴h=（-x²+x+3），
故h=-（x-）²+
∴當(dāng)x=（-＜＜3）時(shí)，h的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度較高．