Question

如圖，直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于A、B兩點，在此直線上有一點P，坐標是，過點P的直線交y軸于點E，交x軸于點F，F(xiàn)點的坐標為（4，0）．
（1）求直線EF的解析式．
（2）求證：AB=EF．
（3）請你判斷△APF是否是直角三角形，并說出理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
則有，
解此方程組得：，
∴直線EF的解析式為：y=-x+2；

（2）直線y=2x+4別與x軸、y軸交點分別為A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB==2，
∵直線y=-x+2與y軸的交點E（0，2），
∴OE=2，
∵OF=4，
∴EF==2，
∴AB=EF；

（3）△APF是直角三角形．
理由：在△OAB和△OEF中，
，
∴△OAB≌△OEF（SAS），
∴∠OFE=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB+∠OFE=90°，
∴∠APF=90°，
即△APF是直角三角形．
分析：（1）首先設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）由直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可求得點A與B的坐標，又由直線y=-x+2與y軸的交點E（0，2），利用勾股定理即可求得AB=EF=2；
（3）易證得△OAB≌△OEF，則可得∠OFE=∠OBA，又由∠OAB+∠OBA=90°，即可得△APF是直角三角形．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．