【題目】10分)已知O為ABC的外接圓,圓心O在AB上.

(1)在圖1中,用尺規(guī)作圖作BAC的平分線AD交O于D(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法與證明);

(2)如圖2,設(shè)BAC的平分線AD交BC于E,O半徑為5,AC=4,連接OD交BC于F.

求證:ODBC;

求EF的長(zhǎng).

【答案】(1)作圖見(jiàn)試題解析;(2)證明見(jiàn)試題解析;

【解析】

試題分析:(1)按照作角平分線的方法作出即可;

(2)由AD是BAC的平分線,得到,再由垂徑定理推論可得到結(jié)論;

勾股定理求得CF的長(zhǎng),然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求得,即可求得,繼而求得EF的長(zhǎng).

試題解析:(1)尺規(guī)作圖如圖1所示:

(2)如圖2,AD平分BAC,∴∠DAC=BAD,, OD過(guò)圓心,ODCB;

AB為直徑,∴∠C=90°,ODCB,∴∠OFB=90°,ACOD,,,即,OF=2,FD=5﹣2=3,在RTOFB中,BF===,ODBC,CF=BF=ACOD,∴△EFD∽△ECA,,EF=CF==

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