Question

1．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E，
（1）求證：PB=PE；
（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，PB=PE還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在圖1中，請(qǐng)直接寫出線段PC，PA，CE之間的一個(gè)等量關(guān)系（不必證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠PBC+∠PEC=180°，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠PED=∠PDE，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PBC=∠PDC，PB=PD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠PBC=∠PEC，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（3）證明PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF即可．

解答 解：（1）證明：如圖1，連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°．
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
∵∠BPE，∠BCD，∠PBC，∠PEC是圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角，∠BPE+∠BCD=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠PED=∠PDE，
∴PD=PE，
∴PB=PE；
（2）仍然成立，理由如下：
連接PD，如圖2：
，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC （SAS），
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD．
若BC與PE相交于點(diǎn)O，在△PBO和△CEO中，
∠POB=∠EOC，∠OPB=∠OCE，
∠PBC=180°-∠OPB-∠POB，∠PEC=180°-∠EOC-∠OCE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∴PD=PE，
∴PB=PE
（3）如圖3，過點(diǎn)P作PG⊥AD，PF⊥CD垂足分別為G、F，

∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，
∵四邊形DFPG為矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PC=$\sqrt{2}$CE+PA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、補(bǔ)角的性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題時(shí)充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚正方形對(duì)角線上點(diǎn)的特點(diǎn)，正方形中的三角形的三邊關(guān)系，有助于提高解題能力．