Question

如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)為a，連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再順次連接第二個(gè)三角形各邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類(lèi)推．
（1）求第3個(gè)三角形的周長(zhǎng)；
（2）求第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)；
（3）求第2008個(gè)三角形的周長(zhǎng)與第2007個(gè)三角形周長(zhǎng)的比．

Answer 1

解：（1）由△ABC的周長(zhǎng)為a，
連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形為A₁B₁C₁，
它的周長(zhǎng)是△ABC的周長(zhǎng)的，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得=，
則第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)是由A₁B₁C₁的，
即為△ABC的周長(zhǎng)，
所以第3個(gè)三角形的周長(zhǎng)為a；

（2）由（1）知．則第三個(gè)三角形它的周長(zhǎng)是△ABC的周長(zhǎng)的，
依此類(lèi)推，第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為；

（3）第2008個(gè)三角形的周長(zhǎng)為=，
第2007個(gè)三角形周長(zhǎng)的為=，
則二者之比為．
答：（1）第3個(gè)三角形的周長(zhǎng)為a；
（2）第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為；
（3）第2008個(gè)三角形的周長(zhǎng)與第2007個(gè)三角形周長(zhǎng)的比為．
分析：（1）連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形為A₁B₁C₁，利用它的周長(zhǎng)是△ABC的周長(zhǎng)的，求證△A₁B₁C₁∽△ABC，
利用相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比推出=，然后得出則第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)．
（2）由（1）方法依此類(lèi)推，同理可推出第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)．
（3）將n=2008和n=2007分別代入，然后相比即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理的理解和掌握，此題關(guān)鍵是利用三角形中位線定理先求出第2個(gè)三角形與原三角形的相似比，然后求得第3個(gè)三角形與原三角形周長(zhǎng)之比，依此類(lèi)推，即可推出第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．
這是此題的突破點(diǎn)．推出此式，下面的問(wèn)題迎刃而解了．