【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點E,F(xiàn)分別在BC,AB上,點M在BA的延長線上,且CE=BF=AM,過點M,E分別作NM⊥DM,NE⊥DE交于N,連接NF.
(1)求證:DE⊥DM;
(2)猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴DC=DA,∠DCE=∠DAM=90°,
在△DCE和△MDA中, ,
∴△DCE≌△MDA(SAS),
∴DE=DM,∠EDC=∠MDA.
又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°,
∴∠ADE+∠MDA=90°,
∴DE⊥DM
(2)解:四邊形CENF是平行四邊形,理由如下:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵BF=AM,
∴MF=AF+AM=AF+BF=AB,
即MF=CD,
又∵F在AB上,點M在BA的延長線上,
∴MF∥CD,
∴四邊形CFMD是平行四邊形,
∴DM=CF,DM∥CF,
∵NM⊥DM,NE⊥DE,DE⊥DM,
∴四邊形DENM都是矩形,
∴EN=DM,EN∥DM,
∴CF=EN,CF∥EN,
∴四邊形CENF為平行四邊形
【解析】(1)利用角邊角可得△DCE≌△MDA,那么可得DE=DM,∠EDC=∠MDA,進而根據(jù)∠ADC=90°可得DE⊥DM;(2)先證明四邊形CFMD是平行四邊形,得出DM=CF,DM∥CF,再證明四邊形DENM都是矩形,得出EN=DM,EN∥DM,得出CF=EN,CF∥EN,即可得出結(jié)論.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行四邊形的判定和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市某中學在創(chuàng)建“特色校園”的活動中,將本校的辦學理念做成宣傳牌(AB),放置在教學樓的頂部(如圖所示).小明在操場上的點D處,用1米高的測角儀CD,從點C測得宣傳牌的底部B的仰角為37°,然后向教學樓正方向走了4米到達點F處,又從點E測得宣傳牌的頂部A的仰角為45°.已知教學樓高BM=17米,且點A,B,M在同一直線上,求宣傳牌AB的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): ≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.81,tan37°≈0.75).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某快遞公司針對新客戶優(yōu)惠收費,首件物品的收費標準為:若重量不超過10千克,則免運費;當重量為千克時,運費為元;第二件物品的收費標準為:當重量為千克時,運費為元。
(1)若新客戶所奇首件物品的重量為13千克,則運費是多少元?
(2)若新客戶所寄首件物品的運費為32元,則物品的重量是多少千克?
(3)若新客戶所寄首件物品與第二件物品的重量之比為2:5,共付運費為60元,則兩件物品的重量各是多少千克?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電子元件廠準備生產(chǎn)4600個電子元件,甲車間獨立生產(chǎn)一半后,由于要盡快投入市場,乙車間也加入了該電子元件的生產(chǎn).若乙車間每天生產(chǎn)的電子元件的個數(shù)是甲車間每天生產(chǎn)的電子元件的個數(shù)的1.3倍,結(jié)果共用33天完成了任務(wù).問:甲車間每天生產(chǎn)電子元件多少個?在這個問題中設(shè)甲車間每天生產(chǎn)電子元件x個,根據(jù)題意可列方程為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,點N是AB邊上一動點,將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN,連接A′C,則線段A′C長度的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了了解學生在校吃午餐所需時間的情況,抽查了20名同學在校吃午餐所花的時間,獲得如下數(shù)據(jù)(單位:min):
10,12,15,10,16,18,19,18,20,38,
22,25,20,18,18,20,15,16,21,16.
(1)若將這些數(shù)據(jù)分為6組,請列出頻數(shù)表,畫出頻數(shù)直方圖;
(2)根據(jù)頻數(shù)直方圖,你認為校方安排學生吃午餐時間多長為宜?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(4,﹣ ),且與y軸交于點C(0,2),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊)
(1)求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標;
(2)若(1)中拋物線的對稱軸上有點P,使△ABP的面積等于△ABC的面積的2倍,求出點P的坐標;
(3)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點Q,使AQ+CQ的值最。咳舸嬖,求AQ+CQ的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,BC=1,點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點,若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形,則P、D(P、D兩點不重合)兩點間的最短距離為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,PD切⊙O于點D,過點B作BE垂直于PD,交PD的延長線于點C,連接AD并延長,交BE于點E.
(1)求證:AB=BE;
(2)若PA=2,cosB= ,求⊙O半徑的長.
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