Question

已知：AD既是△ABC的角平分線又是BC邊上的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求證：BE=CF．

Answer 1

證明：方法一：∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

方法二：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC邊的中線，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．
分析：方法一：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用“角角邊”證明△AED和△AFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明．
方法二：根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE和Rt△CDF全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，要證邊相等，想辦法證明邊所在的三角形全等，是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運(yùn)用，本題難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次三角形全等的證明．