Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根，比如對(duì)于方程 ，操作步驟是：
第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn)A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)B；
第三步：在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)C 的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根（如圖1）
第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根。

（1）在圖2 中，按照“第四步“的操作方法作出點(diǎn)D（請(qǐng)保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡）
（2）結(jié)合圖1，請(qǐng)證明“第三步”操作得到的m就是方程 的一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）實(shí)際上，（3）中的固定點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)，一般地,當(dāng) ， ， ， 與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn)P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2所示：

（2）

證明：在圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D.

根據(jù)題意可證△AOC∽△CDB.

∴.

∴.

∴m（5-m）=2.

∴m2-5m+2=0.

∴m是方程x2-5x+2=0的實(shí)數(shù)根.

（3）

解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為

x2+x+=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.

（4）

解：以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,

設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=.

上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.

又ax2+bx+c=0,

即x2+x+=0.

比較系數(shù)可得：m1+m2=-.

m1m2+n1n2=.

【解析】（1）根據(jù)題目中給的操作步驟操作即可得出圖2中的圖.
（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D.依題意可證△AOC∽△CDB.然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出式子，化簡(jiǎn)后為m2-5m+2=0，從而得證。
（3）將方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+x+=0.模仿研究小組作法即可得答案。
（4）以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=.化簡(jiǎn)后為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+x+=0.再依據(jù)相對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等即可求出。
【考點(diǎn)精析】利用根與系數(shù)的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．