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【題目】如圖,點Py軸的正半軸上,⊙Px軸于BC兩點,以AC為直角邊作等腰RtACD,BD分別交y軸和⊙PEF兩點,連接ACFC

(1)求證:∠ACF=ADB;

(2)若點ABD的距離為m,BF+CF=n,求線段CD的長;

(3)當⊙P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時,的值是否發(fā)生變化?若不發(fā)生變化,請求出其值;若發(fā)生變化,請說明理由.

【答案】見解析

【解析】

(1)連接AB,根據線段垂直平分線性質求出AB=AC=AD,推出∠ADB=∠ABD,根據∠ABD=∠ACM求出即可;

(2)過點AAHBD于點H,求得∠FCD=FDC,根據勾股定理和等腰直角三角形的性質求出CD的平方,即可求出答案;

(3)過點DDH⊥AON,過點DDQ⊥BCQ根據AASDAM ≌△ACODAF ≌△CAF,推出DH=AO,AH=OC,推出DQ=BQ,得出∠DBQ=45°,推出∠HDE=45°,得出等腰直角三角形DHE即可.

解:(1)證明:∵ POBC

BO=CO

AO垂直平分BC

AB=AC

又∵ ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

AC= AD

AB= AD

ABD=ADB

ABD=ACF

ACF =ADB

解:(2)過點AAHBD于點H

AH=1

ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

ACD=ADC

ACF =ADB

∴∠ACD-∠ACF =ADC-∠ADB

即:∠FCD=FDC

CF =DF

BF+CF=14

BD= BF+ DF = BF+CF =14

又∵ AB= AD

BH= DH=BD=7

∴在RtADH中:AD=

AC= AD

CD=

解:(3的值不發(fā)生變化,過點過點DDMy軸于點M

DMA=AOC=90°

OAC+ACO=90°

ACD是以AC為直角邊作等腰直角三角形

,∴ DAC=90°,AC= AD

DAM +OAC = 90°

∴∠DAM=ACO

DAM ≌△ACO

DM=AO

DAFCAF中,

AD=AC,AF=AF,DF=CF,

DAF ≌△CAF

DAF=CAF = 45°

CBF=CAF = 45°

BEO = 45°

DEM=BEO = 45°

DEM是等腰直角三角形

“點睛”本題考查了等腰直角三角形,全等三角形的性質和判,及勾股定理,線段垂直平分線性質,解(1)小題的關鍵是求出AB=AC=AD,解(2)小題的關鍵是求出BH的長,解(3)小題的關鍵是證出△DEM是等腰直角三角形.

練習冊系列答案
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(1)求證: BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點旋轉到圖位置時(BD<CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數量關系如何? 請給予證明;

(3)若直線AE繞A點旋轉到圖位置時(BD>CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的數量關系如何? 請直接寫出結果, 不需證明.

(4)根據以上的討論,請用簡潔的語言表達BD與DE,CE的數量關系。

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2△BEC∽△ADC.

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②是否存在點P,使△PBM為直角三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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