Question

2．如圖，OA，OD是⊙O半徑，過(guò)A作⊙O的切線(xiàn)，交∠AOD的平分線(xiàn)于點(diǎn)C，連接CD，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)B
（1）求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如果D點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3cm，求$\widehat{DE}$的長(zhǎng)度（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）欲證明直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠ODC=90°即可．
（2）先證明∠B=∠OCB=∠ACO，推出∠B=30°，∠DOE=60°，利用弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵AC是⊙O切線(xiàn)，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵CO平分∠AOD，
∴∠AOC=∠COD，
在△AOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COA=∠COD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)．
（2）∵OD⊥BC，DC=DB，
∴OC=OB，
∴∠OCD=∠B=∠ACO，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=30°，∠DOE=60°，
∴$\widehat{DE}$的長(zhǎng)=$\frac{60π•3}{180}$=π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，屬于中考常考題型；解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)全等三角形，證明∠B=30°．