【題目】ABCD中,AF平分∠BADBC于點F,∠BAC=90°,點E是對角線AC上的點,連結(jié)BE

1)如圖1,若AB=AE,BF=3,求BE的長;

2)如圖2,若AB=AE,點GBE的中點,∠FAG=BFG,求證:ABFG;

3)如圖3,以點E為直角頂點,在BE的右下方作等腰直角△BEM,若點E從點A出發(fā),沿AC運動到點C停止,設(shè)在點E運動過程中,BM的中點N經(jīng)過的路徑長為m,AC的長為n,請直接寫出的值.

【答案】1BE=3;(2)證明見解析;(3

【解析】

1)先說明AB=BF,然后再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;

2)如圖2:連接EF,過點GGHEFEF的延長線于H.設(shè)BG=a,FG=b.先利用相似三角形的性質(zhì)證得EFGF,最后根據(jù)解直角三角形求得AB即可;

3)如圖3:在AC上取一點T,使得AT=AB,連接BT,TM,取BT的中點J,連接NJ

先證NJ//TM,NJ=TM,得到∠BJN=BTM=90°,進一步得到點N的運動軌邊是線段,最后代入即可.

解:(1)如圖1中,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC,

∴∠DAF=AFB

AF平分∠BAD,

∴∠DAF=BAF,

∴∠BAF=AFB,

AB=BF=3

AB=AE,∠BAE=90°,

BEAB=3

2)連接EF,過點GGHEFEF的延長線于H.設(shè)BG=a,FG=b

AB=AE,∠BAE=90°,BG=GE,

AGBE,AG=GB=GE,

ABBGa

BF=ABa

BF2=2a2,BGBE=2a2,

BF2=BGBE

,

∵∠FBG=EBF,

∴△GBF∽△FBE,

,∠BFG=BEF,

EFGFb

∵∠BAF=BFA,∠GAF=BFG,

∴∠AFG=BAG=45°,∠GAF=GEF,

∴∠AGE=AFE=90°,

∴∠GFH=45°.

GHEH,

GH=FHb

EH=FH+EFb,

EGb

AB=AEGEb

ABGF

3)如圖3中,在AC上取一點T,使得AT=AB,連接BT,TM,取BT的中點J,連接NJ

∵△ABT,△BEM都是等腰直角三角形,

BTAB,BMBE,∠ABT=EBM=45°,

,∠ABE=TBM,

∴△ABE∽△TBM,

,∠AEB=BMT

∵∠AEB+BET=180°,

∴∠BMT+BET=180°,

∴∠EBM+ETM=180°.

∵∠EBM=ETB=45°,

∴∠ETM=135°,∠BTM=90°.

BJ=JT,BN=NM,

NJTM,NJTM

∴∠BJN=BTM=90°,

∴點N的運動軌跡是線段JNJNTMAE

∵點EA運動到C時,AE=AC=n

mn,

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連接,并作,則 度;

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