Question

【題目】（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現了下面這種典型的基本圖形．如圖①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線L經過點A，BD⊥直線L，CE⊥直線L，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．

（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線L上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖③，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=BD+CE，證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結論；

（3）過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N，由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結論I是EG的中點．

（1）∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）DE=BD+CE，證明如下：

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ADB和△CEA中．

．

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）如圖，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N，

∴∠EMI=GNI=90°，

由（1）和（2）的結論可知EM=AH=GN，

∴EM=GN，

在△EMI和△GNI中，，

∴△EMI≌△GNI（AAS），

∴EI=GI，

∴I是EG的中點．