Question

（2012•威海）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為點F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PM⊥x軸，垂足為點M，△PCM為等邊三角形．

（1）求該拋物線的表達式；
（2）求點P的坐標；
（3）試判斷CE與EF是否相等，并說明理由；
（4）連接PE，在x軸上點M的右側是否存在一點N，使△CMN與△CPE全等？若存在，試求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的頂點是（2，1），因而設拋物線的表達式為y=a（x-2）²+1，把A的坐標代入即可求得函數的解析式；
（2）根據△PCM為等邊三角形，則△CGM中，∠CMD=30°，CG的長度可以求得，利用直角三角形的性質，即可求得CM，即等邊△CMP的邊長，則P的縱坐標，代入二次函數的解析式，即可求得P的坐標；
（3）解方程組即可求得E的坐標，則EF的長等于E的縱坐標，OE的長度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的長度可以求得，則CE的長度即可求解；
（4）可以利用反證法，假設x軸上存在一點，使△CMN≌△CPE，可以證得EN=EF，即N與F重合，與點E為直線y=x上的點，∠CEF=45°即點N與點F不重合相矛盾，故N不存在．

解答：解：（1）設拋物線的表達式為y=a（x-2）²+1，將點A（0，2）代入，得
a（0-2）²+1=2…1分
解這個方程，得a=

1

4

∴拋物線的表達式為y=

1

4

（x-2）²+1=

1

4

x²-x+2；…2分

（2）將x=2代入y=x，得y=2
∴點C的坐標為（2，2）即CG=2…3分
∵△PCM為等邊三角形
∴∠CMP=60°，CM=PM
∵PM⊥x軸，
∴∠CMG=30°
∴CM=4，GM=2

3

．
∴OM=2+2

3

，PM=4…4分
將y=4代入y=

1

4

（x-2）²+1，得4=

1

4

（x-2）²+1
解這個方程，得x₁=2+2

3

=OM，x₂=2-2

3

＜0（不合題意，舍去）．
∴點P的坐標為（2+2

3

，4）…5分

（3）相等…6分
把y=x代入y=

1

4

x²-x+2，得x=

1

4

x²-x+2
解這個方程，得x₁=4+2

2

，x₂=4-2

2

＜2（不合題意，舍去）
∴y=4+2

2

=EF
∴點E的坐標為（4+2

2

，4+2

2

）
∴OE=

EF2+OF2

=4+4

2

又∵OC=

CG2+OG2

=2

2

…8分
∴CE=OE-OC=4+2

2

∴CE=EF…9分

（4）不存在．
假設x軸上存在一點，使△CMN≌△CPE，則CN=CE，∠MCN=∠PCE
∵∠MCP=60°，
∴∠NCE=60°
又∵CE=EF，
∴CN=EF…11分
又∵點E為直線y=x上的點，
∴∠CEF=45°，
∴點N與點F不重合．
∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，
∴原假設錯誤，滿足條件的點N不存在．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，以及等邊三角形的性質，解直角三角形，反證法，正確求得E的坐標是關鍵．