Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B′的位置，AB′與CD交于點(diǎn)E．
（1）試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明；
（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB′于點(diǎn)G，作PH⊥DC于點(diǎn)H，試判斷PG+PH的值是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△CEB′≌△AED（AAS）．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，
③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)B′重合，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合．
解答：（1）△CEB′≌△AED．
證明：由折疊和四邊形ABCD為矩形可得：
AD=B′C，∠D=∠B′=90°，
在△CEB′和△AED中，
，
∴△CEB′≌△AED（AAS）．

（2）PG+PH的值是定值．
①當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，
延長(zhǎng)HP交AB于點(diǎn)M，則PM⊥AB．
∵∠EAC=∠CAB，PG⊥AB′于點(diǎn)G，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD．
∵∠EAC=∠CAB，∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA．
∴AE=EC=DC-DE=AB-DE=8-3=5．
在Rt△ADE中，AD=．
∴PG+PH=AD=4．
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，
∴PG+PH=0+AD=4．
③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)B′重合，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，
∴PG+PH=B′C=BC=AD=4．
綜上說(shuō)述，PG+PH的值是定值，且PG+PH=4．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．