Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵設⑴中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

⑶在拋物線上BC段是否存在點P，使得△PBC面積最大，若存在，求P點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，Q(－1，2)；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，將點A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關鍵是確定點Q的位置，找到點A的對稱點B，求得直線BC的解析式，求得與對稱軸的交點即是所求；

（3）存在，設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點P的坐標．

（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴．

∴拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在．

理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，

∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，

∵y=-x2-2x+3，

∴C的坐標為：（0，3），

直線BC解析式為：y=x+3，

Q點坐標即為，

解得，

∴Q（-1，2）；

（3）存在．

理由如下：設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），

∵S△BPC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-，

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，

=BEPE+OE（PE+OC）

=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

= (x+)2++，

當x=-時，S四邊形BPCO最大值=+，

∴S△BPC最大=+＝，

當x=-時，-x2-2x+3=，

∴點P坐標為（-，）．