Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)與圖形，若點(diǎn)為圖形上任意一點(diǎn)， 點(diǎn)關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點(diǎn)為 ，且線段的中點(diǎn)為，則稱點(diǎn)是圖形關(guān)于點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”

（1）如圖1，若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）如圖2，在中，

①將線段向右平移個單位長度，若平移后的線段上存在兩個關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則的取值范圍是

②已知點(diǎn)和點(diǎn)，若線段上存在關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義、中點(diǎn)的坐標(biāo)公式和關(guān)于第一、三象限角平分線對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律即可；

（2）①先求出原AC與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線和“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可得：“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”定義中的為OA關(guān)于（2,0）的對稱線段與△ABC邊的交點(diǎn)，平移線段可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)在C的左側(cè)，過點(diǎn)（1,0）或（1,0）的右側(cè)時符合題意，再列出不等式即可；

②由S、T的坐標(biāo)可知，線段ST是x軸的一部分，線段ST關(guān)于點(diǎn)N的對稱線段也是x軸的一部分，從而判斷出定義中是△ABC邊與x軸的交點(diǎn)，由圖可知：點(diǎn)只有（-2,0）與（1,0）兩種可能，再根據(jù)線段需要過點(diǎn)（-2,0）或（1,0）分類討論并列出不等式即可．

解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b）

∵點(diǎn)關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點(diǎn)為，

∴，

∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴的中點(diǎn)為原點(diǎn)，

∴，解得

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：

故答案為：

（2）①設(shè)原AC的解析式為y=kx+b，

將代入得：

，解得：

∴原直線AC的解析式為：y=2x-2，

當(dāng)y=0時，解得：x=1，

∴原AC與x軸的交點(diǎn)為（1,0）

△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線和“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可得：定義中的Q在△ABC邊上，

∴也在△ABC的邊上，

∵將線段AO向右平移d(d>0)個單位長度，若平移后的線段上存在兩個△ABC關(guān)于點(diǎn)（2,0）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴點(diǎn)和線段OA上的點(diǎn)必關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，此時O點(diǎn)坐標(biāo)為（d,0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2+d,2），

故作出OA關(guān)于（2,0）的對稱線段，其中，，也必在上，即點(diǎn)為與△ABC邊的交點(diǎn)，

∵平移后的線段上存在兩個關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴與△ABC邊必須有兩個交點(diǎn)才滿足題意，

如圖中藍(lán)線所示，平移可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與C重合時，與△ABC邊有一個交點(diǎn)，繼續(xù)向左平移即可有兩個交點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)（1,0）也有兩個交點(diǎn)，繼續(xù)向左平移就只有一個交點(diǎn)，

故當(dāng)在C的左側(cè)，過點(diǎn)（1,0）或（1,0）的右側(cè)時符合題意，

，解得：．

故答案為：

②∵點(diǎn)和點(diǎn)

∴線段ST是x軸的一部分

∴線段ST上存在△ABC關(guān)于點(diǎn)N（n,0）的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

故S、T關(guān)于點(diǎn)N（n,0）的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（n-2,0），坐標(biāo)為（n-4,0）定義中在線段上，

∴即為△ABC邊與x軸的交點(diǎn)，

由圖可知，點(diǎn)只有（-2,0）與（1,0）兩種可能，

∴線段需要過點(diǎn)（-2,0）或（1,0），

當(dāng)線段需要過點(diǎn)（-2,0）時，

，解得

當(dāng)線段需要過點(diǎn)（1,0）時，

，解得，

綜上所述：或．