【題目】如圖,直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點,其中A,B兩點的橫坐標分別為﹣1和﹣4,且拋物線過原點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)在坐標軸上是否存在點C,使△ABC為等腰三角形?若存在,求出點C的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)若點P是線段AB上不與A,B重合的動點,過點P作PE∥OA,與拋物線第三象限的部分交于一點E,過點E作EG⊥x軸于點G,交AB于點F,若S△BGF=3S△EFP , 求 的值.

【答案】
(1)解:∵A,B兩點在直線y=﹣x﹣4上,且橫坐標分別為﹣1、﹣4,

∴A(﹣1,﹣3),B(﹣4,0),

∵拋物線過原點,

∴c=0,

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ,解得

∴拋物線解析式為y=x2+4x


(2)解:∵△ABC為等腰三角形,

∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三種情況,

①當AB=AC時,當點C在y軸上,設(shè)C(0,y),

則AB= =3 ,AC= ,

∴3 = ,解得y=﹣3﹣ 或y=﹣3+

∴C(0,﹣3﹣ )或(0,﹣3﹣ );

當點C在x軸上時,設(shè)C(x,0),則AC= ,

=3 ,解得x=﹣4或x=2,當x=﹣4時,B、C重合,舍去,

∴C(2,0);

②當AB=BC時,當點C在x軸上,設(shè)C(x,0),

則有AB=3 ,BC=|x+4|,

∴|x+4|=3 ,解得x=﹣4+3 或x=﹣4﹣3

∴C(﹣4+3 ,0)或(﹣4﹣3 ,0);

當點C在y軸上,設(shè)C(0,y),則BC= ,

=3 ,解得y= 或y=﹣ ,

∴C(0, )或(0,﹣ );

③當CB=CA時,則點C在線段AB的垂直平分線與y軸的交點處,

∵A(﹣1,﹣3),B(﹣4,0),

∴線段AB的中點坐標為(﹣ ,﹣ ),

設(shè)線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+d,

∴﹣ =﹣ +d,解得d=1,

∴線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+1,

令x=0可得y=1,令y=0可求得x=﹣1,

∴C(﹣1,0)或(0,1);

綜上可知存在滿足條件的點C,其坐標為(0,﹣3﹣ )或(0,﹣3﹣ )或(﹣4+3 ,0)或(﹣4﹣3 ,0)或(﹣1,0)或(0,1)或(2,0)或(0, )或(0,﹣


(3)解:過點P作PQ⊥EF,交EF于點Q,過點A作AD⊥x軸于點D,

∵PE∥OA,GE∥AD,

∴∠OAD=∠PEG,∠PQE=∠ODA=90°,

∴△PQE∽△ODA,

= =3,即EQ=3PQ,

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣4,

∴∠ABO=45°=∠PFQ,

∴PQ=FQ,BG=GF,

∴EF=4PQ,

∴GE=GF+4PQ,

∵S△BGF=3S△EFP

GF2=3× 4PQ2,

∴GF=2 PQ,

= =


【解析】(1)由直線解析式可分別求得A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)當AB=AC時,點C在y軸上,可表示出AC的長度,可求得其坐標;當AB=BC時,可知點C在x軸上,可表示出BC的長度,可求得其坐標;當AC=BC時點C在線段AB的垂直平分線與坐標軸的交點處,可求得線段AB的中點的坐標,可求得垂直平分線的解析式,則可求得C點坐標;(3)過點P作PQ⊥EF,交EF于點Q,過點A作AD⊥x軸于點D,可證明△PQE∽△ODA,可求得EQ=3PQ,再結(jié)合F點在直線AB上,可求得FQ=PQ,則可求得EF=4PQ,利用三角形的面積的關(guān)系可求得GF與PQ的關(guān)系,則可求得比值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

練習冊系列答案
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成績x/分

頻數(shù)

頻率

50≤x<60

10

0.05

60≤x<70

30

0.15

70≤x<80

40

n

80≤x<90

m

0.35

90≤x≤100

50

0.25

請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)m= , n=;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會落在分數(shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績“優(yōu)”等約有多少人?

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