【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=2,D是邊BC的中點,點P從點A出發(fā),沿AB﹣BD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動.同時點Q從點C出發(fā),沿CA﹣AC以每秒1個單位長度的速度運動.當(dāng)點P停止運動時,點Q也隨之停止運動,設(shè)點P的運動時間為t(秒),△PQD的面積為S.
(1)求線段PB的長(用含t的代數(shù)式).
(2)當(dāng)△PQD是等邊三角形時,求t的值.
(3)當(dāng)S>0時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(4)若點D關(guān)于直線PQ的對稱點為點D′,且S>0,直接寫出點D′落在△ABC的邊上時t的值.
【答案】(1)BP=t﹣2;(2)1;(3)當(dāng)0≤t≤2時,,當(dāng)2<t<3時,.(4)1或2.5.
【解析】
試題分析: (1)根據(jù)當(dāng)0≤t≤2和2≤t≤3時兩種情況進行解答即可;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可;
(3)根據(jù)當(dāng)0≤t≤2和2<t<3時兩種情況,利用三角函數(shù)和三角形面積公式解答即可.
(4)根據(jù)點D′落在△ABC的邊上兩種情況解答即可.
試題解析:(1)∵△ABC是等邊三角形,AB=2,
∴當(dāng)0≤t≤2時,BP=2﹣t;
當(dāng)2≤t≤3時,BP=t﹣2;
(2)如圖1,∵△PQD是等邊三角形,
∴∠PDQ=60°,
∴∠PDB+∠CDQ=120°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠PDB+∠BPD=120°,
∴∠BPD=∠CDQ,
∵BD=CD,
在△BPD與△CDQ中,
,
∴△BPD≌△CDQ(AAS),
∴BP=CQ,
∴2﹣t=t,
∴t=1,
(3)當(dāng)0≤t≤2時,如圖2,連接AD,
∵△ABC是等邊三角形,D是邊BC的中點,
∴∠ADB=90°,
∴AD=ABsin60°=,
分別過點P,Q作PE⊥BC,QF⊥BC,垂足分別為點E,F(xiàn),
在Rt△BPE中,∠BEP=90°,PE=PBsin60°=,
在Rt△QCF中,∠QFC=90°,QF=CQsin60°=,
過點Q作QG⊥AB于點G,
在Rt△AGQ中,∠AGQ=90°,QG=AQsin60°=,
∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ,
∴,
∴,
當(dāng)2<t<3時,如圖3
過點Q作QH⊥BC于點H,
在Rt△CQH中,∠CHQ=90°,
QH=CQsin60°=,
∴,
∴.
(4)點D′落在△ABC的邊上,如圖4,此時t=1;
點D′落在△ABC的邊上,如圖5,此時t=2.5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩一個游戲,判定這個游戲公平不公平的標(biāo)準(zhǔn)是( 。
A. 游戲的規(guī)則由甲方確定
B. 游戲的規(guī)則由乙方確定
C. 游戲的規(guī)則由甲乙雙方商定
D. 游戲雙方要各有50%贏的機會
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若圓的半徑是5, 如果點P到圓心的距離為4.5,那么點P與⊙O的位置關(guān)系是( )
A. 點P在⊙O外 B. 點P在⊙O內(nèi)
C. 點P在⊙O上 D. 點P在⊙O外或⊙O上
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是( )
A. a(x﹣y)=ax﹣ayB. x2+3x+2=x(x+3)+2
C. (x+y)(x﹣y)=x2﹣y2D. x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線BE、CF相交于點P.
(1)若∠ABC=70°,∠ACB=50°,則∠BPC= °;
(2)求證:∠BPC=180°﹣(∠ABC+∠ACB);
(3)若∠A=α,求∠BPC的度數(shù).
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