Question

如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AP=CQ，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．作PE⊥AC于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)度（ ）

A．為4cm
B．為5cm
C．為cm
D．不能確定

Answer 1

【答案】分析：過(guò)Q作QF⊥AC于F，證△AEP≌△CFQ，推出PE=QF，CF=AE，證△PED∽△QFD，求出DE=DF，推出AC=2DE，根據(jù)勾股定理即可求出DE．
解答：解：過(guò)Q作QF⊥AC于F，
∵PE⊥AC，
∴∠F=∠AEP=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ACB=∠QCF=45°，
∵在△AEP和△CFQ中
，
∴△AEP≌△CFQ，
∴PE=QF，CF=AE，
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴△PED∽△QFD，
∴=，
∴DE=DF，
∵CF=AE，
∴AC=AE+DE+DC=AE+DE+DF-CF=2DE，
在△ABC中，由勾股定理得：8²+8²=（2DE）²，
解得：DE=4（cm）．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC=2DE，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．