Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為2，是邊上的動點(diǎn)，交CD于F，垂足為G，連接，下列說法：①;②;③點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為；④CG的最小值為；其中正確的是____________．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動到與C重合時，F點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，故①錯誤；求得∠BAE=∠CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得AE=BF，判斷出②正確；根據(jù)題意，G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，然后求出弧的長度，判斷出③錯誤；由于OC和OG的長度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，根據(jù)勾股定理求出最小CG長度．

解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，

∴∠AGB保持90°不變，
∴G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，
∴當(dāng)E移動到與C重合時，F點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，
∴AG=GE，故①錯誤；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正確；
∵當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時停止，
∴點(diǎn)G運(yùn)動的軌跡為圓，
圓弧的長=π×2=，故③錯誤；
由于OC和OG的長度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值為OCOG=，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有②④．

故答案為：②④．